Математика. Первая ступень

Категория: Программы.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДЕТЕЙ
«Математика. Первая ступень»

Авторы: Бронников Анатолий Анатольевич,
Иванова Елена Юрьевна,
Михайловский Никита Андреевич,
педагоги дополнительного образования
МГДД(Ю)Т. г. Москва.

Пояснительная записка
Образовательная программа «Математика. Первая ступень» имеет естественнонаучную направленность.
Актуальность. На современном этапе в России идет постепенный подъем науки, промышленности, неуклонно растет наукоемкость производства. Все возрастающая интеллектуализация всех сфер деятельности человека (производства, экономики, труда, обработки информации и т.д.) требует высококвалифицированных специалистов, владеющих, в том числе и определенным математическим аппаратом, основами математической логики  и математического анализа.
Для успешного и глубокого изучения предмета необходим творческий подход, основанный на решении нестандартных задач, освоении разнообразных математических методов и теорий, возможность которого в рамках дополнительного образования  в отличие от школьного, намного шире.
Педагогическая целесообразность. При освоении практически любой области науки и техники требуется владение определенным математическим аппаратом. Он лежит в основе изучения физических, химических, биологических, социальных процессов, позволяя создать математическую модель, описывающую данные процессы. Навыки, приобретаемые детьми в ходе обучения по данной программе, необходимы им и при обучении  по другим предметам и направленностям.
Данная программа является первым этапом в обучении математике на основе  комплекта программ («Математика. Первая ступень», «Математика. Вторая ступень», «Математика. Третья ступень»), объединенных единой целью и рассчитанных на детей среднего и старшего школьного возраста. Разница между программами заключается в сложности материала, глубине проработки теоретического материала, доступности методов и теорий определенному рамками программ возрасту обучающихся. Один и тот же математический метод может применяться для решения простых, сложных и очень сложных нестандартных задач. При обучении по данной программе происходит овладение обучающимися основами логического мышления и математического аппарата на основе решения задач на тематических занятиях и знакомства с небольшим количеством теоретического материала по следующим направлениям: комбинаторика, графы, четность, инвариант, правило крайнего, математические игры, делимость и др. Эти темы общедоступны для обучающихся 10-13 лет. Знания, полученные во время первого года обучения, на 2 году обучения закрепляются решением более сложных задач, и немного расширяется теоретический материал.  Отбор на первую ступень обучения проводится в виде вступительного тестирования-олимпиады, предварительная подготовка не требуется, так как тестирование оценивает уровень базовых школьных знаний. Из детей, показавших на вступительном тестировании высокий уровень знаний и способностей (достаточный  и необходимый, по мнению педагога), могут быть сформированы группы,  занимающиеся по программе 2-ого года обучения, с усилением индивидуального подхода к этим обучающимся. В течение учебного года возможен донабор детей в учебные группы.
Из детей, успешно закончивших обучение по программе,  и желающих продолжить обучение, формируются учебные группы, занимающиеся по программе «Математика.  Вторая ступень».
Цель: научить обучающихся анализу и решению сложных нестандартных  математических задач посредством  формирования математического мышления и развития интеллектуальной активности.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи.
Обучающие:
•    дать знания теоретического материала из различных математических теорий (комбинаторика, графы, множества и  др.);
•    дать знания по  основам математического анализа;
•    ознакомить с некоторыми математическими методами решения задач (метод от противного, принцип Дирихле, метод математической индукции).
Развивающие:
•    заложить основы навыков самостоятельной работы при решении нестандартных математических задач;
•    развить умение выстраивать цепь логических суждений, аргументации и доказательств;
•    развить умение работать со справочной и специальной литературой;
•    развить абстрактное мышление;
•    развить умение работать в команде.
Воспитательные:
•    повысить коммуникативные способности обучающихся;
•    воспитать целеустремленность в достижении творческих результатов;
•    воспитать уважительное отношение к окружающим.
Отличие данной программы: аналогичные ОП существуют в учебных группах в Санкт-Петербургском городском Дворце творчества юных, в Центрах дополнительного образования одаренных школьников, при этом указанные программы в большей степени ориентированы на олимпиадную математику и меньшее внимание уделяется глубокому изучению теоретического материала. Данная программа рассчитана на детей, глубоко интересующихся предметом, развивает математическое мышление на темах, связанных с решением нестандартных задач и отличается изучением больших разделов математической теории. Особенностью данной программы является привлечение обучающихся уже на ранних сроках обучения (4-6 недель) к участию в математических олимпиадах, турнирах, матбоях разных уровней.
Возраст детей 10-13 лет.
Срок реализации программы: 2 года.
В ходе обучения по программе большое внимание уделяется подготовке к участию в российских естественнонаучных конференциях школьников, математических олимпиадах и турнирах, математических боях. В результате занятий по данной программе дети учатся самостоятельно работать с литературой, осваивают новые предметные области, учатся применять накопленные знания в смежных областях.
Формы и режим занятий. Занятия ведутся один раз в неделю по три часа. В конце каждого часа 15-и минутный перерыв. В ходе изучения предмета широко используются различные формы обучения: фронтальные занятия, сочетающие теоретическую и практическую части; математические олимпиады; интеллектуальные турниры различных уровней; математические регаты и турниры математических боев; соревнования в Интернете в режиме «он-лайн». Предполагается непрерывность учебного  процесса по данной программе, т.к. помимо вышеперечисленных форм занятий  используются такие формы проведения занятий как экскурсии, летние экспедиции и математические лагеря.
Ожидаемые результаты и способы их проверки.
В конце 1 года обучения дети будут владеть некоторыми  математическими методами решения задач и навыками логического мышления, научатся строить математические конструкции, познакомятся с некоторыми разделами комбинаторной геометрии.
В конце 2 года обучения дети смогут закрепить знания, полученные в 1 год обучения, приобретут навыки логического мышления, опыт работы в команде, смогут освоить теоретический материал из теории сравнений, освоят метод математической индукции.
Стройность суждений, способов доказательств, математической аргументации, развиваемые у обучающихся в рамках дополнительной образовательной программы «Математика. Первая ступень», позволит им перенести выработанные навыки для решения широкого круга задач в различных областях деятельности человека. Полученный результат оценивается на итоговом  занятии - олимпиаде, а также по результатам выступлений на олимпиадах различных уровней.
Результат обучения по программе также оценивается по количеству решенных обучающимся в течение года задач, а также по результатам выступлений на олимпиадах и других математических соревнованиях  различных уровней.
Результат работы ребенка в зависимости от количества решенных им задач в течение всего года оценивается по следующей шкале:
      менее 15%   решенных ребенком задач – слабый уровень подготовки;
    15% - 39%   решенных ребенком задач – удовлетворительный уровень подготовки;
    40% - 69%   решенных ребенком задач – средний уровень подготовки;
    70% - 100% решенных ребенком задач – сильный уровень подготовки.
Формы подведения итогов реализации дополнительной образовательной программы. Основными формами  подведения итогов реализации дополнительной  образовательной программы являются итоговые олимпиады, от которых освобождаются дети, успешно себя зарекомендовавшие на городских и российских олимпиадах, научных конференциях и турнирах. В соответствии с Положением об аттестации обучающихся учебных групп и коллективов МГДД(Ю)Т по итогам аттестации обучающимся выдается свидетельство или удостоверение об окончании обучения по программе.

Учебно-тематический план
1-ого года обучения

Содержание программы
1 года обучения
Раздел 1.  Введение
Тема 1.1. Собеседование с детьми. Вступительное тестирование-олимпиада. Различия школьной математики и содержания обучения по данной дополнительной образовательной программе.
Практическая часть. Тестирование (олимпиада) по задачам для 5-6 классов для определения уровня математической культуры и знаний  ребёнка, оценки знаний на начало учебного года, определение математических интересов обучающегося.
Тема 1.2. Вводное занятие. Техника безопасности. Разные задачи. Основные правила и требования техники безопасности и противопожарной безопасности. Знакомство с программой, её структура, цели и задачи. Разные типы задач. Практическая часть. Разбор и решение задач из различных разделов по олимпиадной тематике.
Раздел 2.  Четность.  Понятие четных и нечетных чисел. Исследование свойств четных и нечетных чисел. Использование четности  для решения различных задач. Типовые примеры.
Практическая часть. Разбор задач на использование свойств четных и нечетных чисел.
Раздел 3. Решение задач с конца. Идея «прокручивания» условия задачи в обратном порядке. Задача об озере и лилиях.  
Практическая часть. Разбор и решение задач.
Раздел 4. Множества.
Тема 4.1. Элементы теории множеств. Действия с множествами. Множества. Пересечение, объединение. Пустое множество. Сравнение множеств. Установление взаимно-однозначного соответствия.
Практическая часть. Разбор и решение задач.
Тема 4.2 Круги Эйлера. Графическое изображение условия задачи о множествах с помощью кругов или диаграмм.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 5.. Задачи на движение. Правило сложения и вычитания скоростей.
 Практическая часть. Задача о курьере между двумя движущимися объектами. Задачи про эскалатор.
Раздел 6. Элементы теории графов.  Графическое изображение условия задачи. Вершины и ребра, а также подсчет их количества. Деревья. Плоские графы. Задача Рамсея.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 7. Геометрические фигуры и их свойства.
Тема 7.1. Правильные многоугольники. Правильные многоугольники. Свойства правильных многоугольников.
Практическая часть. Зарисовка различных плоских фигур, изучение их свойств.
Тема 7.2. Неравенство треугольника. Свойства длин сторон треугольника. Исследование возможности построения треугольника из заданных отрезков. Оценка длин.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 8. Принцип Дирихле. Задача о зайцах. Различные применения принципа Дирихле.
Практическая часть. Решение задач. Принцип Дирихле в теоретико-числовых и геометрических задачах.
Раздел 9. Элементы топологии. Поверхности и границы. Лист Мёбиуса.  Практическая часть. Конструирование из бумаги различных топологических моделей.
Раздел 10. Логические задачи. Логические задачи про рыцарей и лжецов, логические противоречия. Смешивание метаязыка и языка логики.
Практическая часть. Разбор и решение задач.
Раздел 11. Комбинаторика. Подсчет вариантов. Основное правило комбинаторики. Простейшие идеи счета возможных вариантов. Перестановки. Знакомство с факториалом.
Практическая часть. Решение вычислительных задач.
Раздел 12. Задачи на проценты. Вычисление процентов от числа и нахождение числа по его проценту. Сложные проценты. Практическое применение процентов.  Практическая часть. Решение задач.
Раздел 13. Математические бильярды. Свойства бильярдов. Сведение некоторых геометрических задач к бильярдам.  
Практическая часть. Разбор и решение многочисленных примеров
Раздел 14. Объемные фигуры и их свойства. Различные виды объемных фигур. Многогранники и их свойства. Выпуклость. Правильные многогранники. Практическая часть. Зарисовка проекций различных объемных фигур, конструирование из спичек и пластилина многогранников.
Раздел 15. Решение задач с помощью выхода в пространство. Различие плоскости и пространства. Примеры задач, которые можно решить в пространстве, и нельзя решить на плоскости.
Практическая часть. Превращение «плоских» задач в «объемные» и наоборот.
Раздел 16. Делимость.
Тема 16.1. Делимость целых чисел. Делимость. Свойства суммы, разности и произведения.  
Практическая часть. Решение задач.
Тема 16.2. Признаки делимости. Признак делимости на  3, 4, 8 и 9. Число 1001. Признаки делимости на 11,7,13.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 17. Инвариант. Простейшие инварианты. Инварианты в геометрии. Числовые инварианты. Инварианты на графах. Инварианты в комбинаторных задачах. Практическая часть.  Решение задач.
Раздел 18. Взвешивания и переливания.  Задачи с использованием чашечных весов без гирь. Фальшивые монеты. Минимальное число взвешиваний. Задачи о переливаниях.
Практическая часть. Решение задач на взвешивания и переливания.
Раздел 19. Подготовка и участие в математических олимпиадах
Тема 19.1. Подготовка к участию в математических олимпиадах. Разбор олимпиадных задач по материалам прошлых олимпиад.
Тема 19.2 Участие в математических олимпиадах.
Практическая часть. Участие в письменных и устных математических олимпиадах математических регатах, турнире Ломоносова, турнире Архимеда, турнире математических боев и других математических соревнованиях в соответствии с графиком их проведения.
Тема 19.3 Разбор олимпиадных задач. Разбор и обсуждение задач математических соревнований, в которых участвовали обучающиеся в текущем году.
    Раздел 20. Организационное занятие.
Практическая часть. Тематический вечер (праздник).
    Раздел 21. Итоговое занятие.
Практическая часть. Итоговая олимпиада. Подведение итогов.
 

<hrdata-mce-alt="2" class="system-pagebreak" title="2" />

Учебно-тематический план
2-ого года обучения

Содержание программы
2 года обучения

Раздел 1. Вводное занятие. Техника безопасности. Основные правила и требования техники безопасности и противопожарной безопасности.
Практическая часть. Решение задач по материалам 1 года обучения.
Раздел 2. Четность. Четность. Исследование свойств четных и нечетных чисел в качестве инвариантов.
Практическая часть. Решение и разбор задач на использование свойств четных и нечетных чисел.
Раздел 3. Принцип Дирихле. Обобщенный принцип Дирихле. Неоднократное применение принципа в одной задаче. Задача о зайцах. Принцип Дирихле в теоретико-числовых и геометрических задачах.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 4. Делимость.
Тема 4.1. Делимость целых чисел. Использование делимости как инварианта в задачах. Последовательность Фибоначчи. Взаимная простота.
Практическая часть. Решение задач.
Тема 4.2. Признаки делимости. Признаки делимости для составных чисел. Практическая часть. Решение задач.
Раздел 5. Уравнения в целых числах. Составление уравнений в числовых задачах. Исследование свойств целочисленных уравнений.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 6. Комбинаторика.
Тема 6.1. Элементы комбинаторики. Подсчет вариантов. Основные типы задач и методы их решения. Метод перегородок. Метод черных и белых шаров.
Практическая часть. Решение вычислительных задач.
Тема 6.2. Перестановки и сочетания. Задачи на счет. Перестановки и сочетания. Выбор оптимального варианта счета. Свойства сочетаний и перестановок. Практическая часть. Решение вычислительных задач.
Тема 6.3. Треугольник Паскаля, некоторые его свойства. Построение треугольника Паскаля. Свойства n-ой строки. Связь с сочетаниями. 2 главных правила треугольника Паскаля.
Практическая часть. Решение вычислительных задач.
Раздел 7. Аналогии и соответствия. Понятие соответствия. Поиск новых решений старых задач. Различные формулировки одной и той задачи. Упрощение задач.  
Практическая часть. Решение и сведение задач к уже решенным ранее.
Раздел 8. Метод математической индукции. Метод математической индукции. Разбор ключевых задач.  
Практическая часть. Решение задач на периодичность.
Раздел 9. Неравенство треугольника. Задачи на доказательство. Решение задач с помощью дополнительных построений.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 10. Элементы топологии. Невозможные математические фигуры. Рисунки Эшера. Различные виды ленты Мёбиуса.  
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 11. Логические задачи. Связь логических задач и теории множеств. Практическая часть. Разбор и решение задач.
Раздел 12. Графы.
Тема 12.1. Элементы теории графов. Графическое изображение условия задачи. Вершины и ребра. Подсчет количества. Ориентированные графы.  
Практическая часть. Графическая интерпретация задач и их решение.
Тема 12.2. Плоские графы. Формула Эйлера.  Деревья. Линейные графы. Задачи Эйлера и Гамильтона. Плоские графы.
Практическая часть. Графическая интерпретация задач и их решение.
Тема 12.3. Раскраски графов. Решение задач с помощью графов. Двудольные графы. Раскраски на графах. Их свойства.  
Практическая часть. Графическая интерпретация задач и их решение.
Тема 12.4. Полные графы. Дополнение к графу.  Полнота графа. Дополнительный граф. Самодополняющиеся графы. Их свойства.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 13. Правильные многогранники. Их связь с графами. Многогранники и их свойства. Выпуклость. Правильные многогранники. Связь с плоскими графами. Формула Эйлера.
Практическая часть. Рисование проекций различных объемных фигур, конструирование из спичек и пластилина многогранников.
Раздел 14. Математические бильярды. Сведение некоторых геометрических задач к бильярдам. Физическая интерпретация.
Практическая часть. Разбор и решение многочисленных примеров.
Раздел 15. Оценки в задачах. Оценка числа операций, максимального и минимального значения различных величин. Построение примеров. Задачи на доказательство.
Практическая часть. Разбор и решение задач.
Раздел 16. Инварианты. Поиск инвариантов в задачах. Инварианты в геометрии. Числовые инварианты. Инварианты на графах. Инварианты в комбинаторных задачах.
Практическая часть. Решение задач.
Раздел 17. Углы в треугольнике. Сумма углов. Измерение углов. Остроугольный, прямоугольный, тупоугольный треугольник. Равнобедренный треугольник. Сумма углов в треугольнике. Сумма углов пятиконечной звезды. Метод поворота для подсчета углов.
Практическая часть. Решение геометрических задач.
Раздел 18. Геометрические фигуры и их свойства. Разбиение на треугольники. Диагональ внутри многоугольника. Изучение свойств различных плоских фигур.  
Практическая часть. Рисование различных плоских фигур, изучение их свойств.
Раздел 19. Подготовка и участие в математических олимпиадах
Тема 19.1. Подготовка к участию в математических олимпиадах. Разбор олимпиадных задач по материалам прошлых олимпиад.
 Тема 19.2. Участие в математических олимпиадах.
Практическая часть. Участие в письменных и устных математических олимпиадах математических регатах, турнире Ломоносова, турнире математических боев и других математических соревнованиях в соответствии с графиком их проведения.
Тема 19.3. Разбор олимпиадных задач. Разбор и обсуждение задач математических соревнований, в которых участвовали обучающиеся в текущем году.
Раздел 20. Организационное занятие.
Практическая часть. Тематический вечер (праздник).
Раздел 21. Итоговое занятие.
Практическая часть. Итоговая олимпиада. Аттестация обучающихся. Подведение итогов.

Методическое обеспечение

Большое число занимающихся диктует необходимость большого количества учебных аудиторий для занятий, большинство из которых проводятся на базе МГУ, а при проведении больших командных соревнований используются "Выставочный зал" или БГЗ в главном корпусе МГДД(Ю)Т. Основная роль педагога на занятиях по данной программе - не в том, чтобы рассказывать и объяснять, а в том, чтобы тщательно проверять, разбираться в любых ошибках, сохраняя искренний интерес ко всем успехам обучающегося. Этот интерес и является "золотым ключиком", который имеется в руках педагога, а вовсе не «двойки» и «пятерки». Основные принципы работы по дополнительной образовательной программе «Математика»: тщательность, неторопливость и самостоятельность. В программу включаются некоторые ключевые темы, которые, разумеется, не охватывают всю математику. Кроме обычных школьных тем, встречаются начала анализа, теория алгоритмов, некоторые темы высшей алгебры. Обычно лучше всего идут начала анализа - они способны надолго увлечь большинство обучающихся. Но выбор тем сильно зависит от педагога, от его способности с глубоким интересом относиться к теме и к работе обучающихся в ней.
Тщательность означает, что тема проходится не временно ("в ВУЗе вас этому обучат, как следует"), а окончательно (что не исключает последующего возврата к теме на новом уровне). Потеря тщательности ведет к потере интереса. Ребёнок, который один раз чего-то недопонял, другой раз чего-то недопонял, «засоряет», наконец, своё обучение до того, что ему становится невозможно учиться дальше. Наоборот, тщательность позволяет находить в обычных вещах все новый интерес. Очень важен индивидуально-личностный подход к каждому обучающемуся. Неторопливость означает, что на каждую «трудность» уходит столько времени, сколько нужно.
Самостоятельность означает, что значительная часть теоретического материала, выполняется обучающимися самостоятельно — они сами доказывают или опровергают большинство предлагаемых решений задач и доказательств теорем. Прямой рассказ педагога малоэффективен. Дело в том, что начинающие не понимают математического языка. Например, мало кто из начинающих способных детей видит разницу между фразами: «для любого С найдется х, который больше С» и «найдется х, который больше любого С». Много ли поймут обучающиеся из грамотного рассказа квалифицированного математика. Поэтому основным способом подсказки педагога становится структурирование материала.
Одна из форм работы учебных групп - это система листков. Каждый ученик получает задание (две-три страницы машинописного текста), которое называется листком и которое содержит набор определений и задач, соответствующих определенному разделу изучаемого курса.
Все обучающиеся получают одно и тоже задание, которое делится на основную (обязательную) и дополнительную части. Получив очередной листок, обучающийся самостоятельно разбирает новые понятия и определения и решает задачи, приведенные в этом листке. Каждая решенная и записанная школьником задача во время занятия обсуждается с педагогом и сдается ему. Уровень обсуждения данной задачи зависит от конкретного обучающегося и регулируется педагогом. При этом, как правило, отсутствуют конкретные домашние задания к данному занятию. Сроки сдачи листка достаточно условны и заранее не объявляются. Эта форма работы имеет свои плюсы и минусы, поэтому в дополнение к ней проводятся теоретические и практические занятия. Первые предназначены для ознакомления обучающихся с большим объемом теоретической информации, а вторые позволяют повысить качество выступлений обучающихся у доски, обучить их основам научной дискуссии, аккумулировать опыт всей группы при решении трудной математической задачи.
Результат обучения по данной программе оценивается по количеству решенных обучающимся в течение года задач, на итоговой  олимпиаде, а также по результатам выступлений на олимпиадах и других математических соревнованиях  различных уровней.
Результат работы ребенка в зависимости от количества решенных им задач в течение всего года оценивается по следующей шкале:
      менее 15%   решенных ребенком задач – слабый уровень подготовки;
    15% - 39%   решенных ребенком задач – удовлетворительный уровень подготовки;
    40% - 69%   решенных ребенком задач – средний уровень подготовки;
    70% - 100% решенных ребенком задач – сильный уровень подготовки.
В процессе воспитания обучающихся важную роль играют организационные занятия, которые могут проводиться в форме экскурсии в музеи, на выставки; в форме праздников (Новый год, математический праздник), тематических занятий (День защитника Отечества, 8 марта, День Победы и т.д.) внутри учебной группы, отдела  или общедворцовских мероприятий. Такая форма организации учебно-воспитательного процесса помогает глубже раскрыть личностные особенности каждого обучающегося, обеспечивая более качественный индивидуально-личностный подход в обучении. Дети учатся общаться друг с другом и со взрослыми в неформальной обстановке в атмосфере доброжелательности, уважительно относиться к окружающим, ответственности за порученное дело.
Для успешной реализации данной программы необходимы просторные, хорошо проветриваемые аудитории, современная компьютерная техника и программное обеспечение с выходом в Интернет, проекционное, видео- и фотооборудование, методическое и дидактическое обеспечение. Задания составляются по материалам классических книг, написанных на основе 50-летнего опыта функционирования системы математических кружков в Москве и Ленинграде.